Espacios vectoriales: cambio de base
Muchas de las aplicaciones del álgebra lineal a la física, ingeniería, ciencias sociales, etc., pueden formularse de manera sencilla si se elige el sistema de coordenadas apropiado. También, los problemas de espacios vectoriales pueden simplificarse eligiendo una base adecuada. En la clase de hoy estudiaremos las coordenadas de un vector con respecto a una base fija, veremos que esas coordenadas cambian al cambiar la base del espacio y estudiaremos las relaciones que vinculan las coordenadas de un vector con respecto a diferentes bases.
Empezaremos con un ejemplo; tomemos B = { (1,0,-1), (-1,1,0), (1,1,1) } como base de Â3 y w = (2,-3,4) un vector en Â3. Expresaremos w como combinación lineal de B
-¿porqué esto es posible para cualquier w en Â3?.
Es decir, queremos encontrar escalares a, b, g tales que
(2,-3,4)=a(1,0,-1)+b(-1,1,0)+g(1,1,1)
lo cual nos lleva al sistema de ecuaciones,
a - b+g = 2
b+g =-3
-a +g = 4, cuya matriz aumentada es
-¿Son los escalares a, b, g únicos?
-¿Puede eliminar algún vector de B y todavía escribir w como combinación lineal de ese subconjunto?
En general tenemos el siguiente
Teorema 1:
Si (V,+,.) es un espacio vectorial de dimensión finita y B={v1, v2,...,vn} es una base de V, entonces para cada wÎV, existen escalares únicos a1, a2,...,an tales que w=a1v1+a2v2+...+anvn.
La existencia es debida a que una base es generadora del espacio y la unicidad es por el hecho de que la base es un conjunto linealmente independiente. En efecto, supongamos que w se puede escribir de dos maneras como una combinación lineal de v1, v2,...,vn; es decir,
w =a1v1+a2v2+...+anvn = b1v1+b2v2+...+bnvn, entonces,
(a1-b1)v1 + (a2-b2)v2 +...+ (an-bn)vn= 0 y como v1, v2,...,vn son l.i.
entonces a1 = b1, a2 = b2,..., an = bn.
Estos escalares únicos tienen un nombre propio: coordenadas de w con respecto a la base B. Precisando más, tenemos la siguiente
Definicion 1:
Sea como antes B={v1, v2,...,vn} una base de V y wÎV tal que w=a1v1+a2v2+...+anvn . Las coordenadas de w con respecto a la base B son a1, a2, ...,an y lo escribiremos así:
[w]B=( a1, a2,...,an).
Observaciones:
Ø si B={(1,2),(0,1)} entonces
[(2,7)]B= (2,3) porque (2,7)=2(1,2)+3(0,1)
Ø si C={(0,1),(1,2)} entonces
[(2,7)]C= (3,2) porque (2,7)=3(0,1)+ 2(1,2)
Es decir, [w]B no solo cambia cuando la base cambia, también depende del orden de los elementos en B. Por lo tanto, para definir con precisión las coordenadas de un vector w con respecto a una base B, pediremos que la base B sea una base ordenada.
Ejemplo 1:
Si S es la base canónica de Â3, como (2,-3,4) = 2(1,0,0)-3(0,1,0)+4(0,0,1) entonces [w]S=(2,-3,4) = w. Es decir, los vectores en Ân se denotan por sus coordenadas en la base canónica.
Los resultados obtenidos en el ejemplo anterior, nos permiten concluir que si w=(2,-3,4) y tomamos B={(1,0,-1),(-1,1,0),(1,1,1)} como base de Â3, entonces
Ejercicio Nº1:
Encuentre las coordenadas del polinomio
p(x)=1 +2x+3x2 con respecto a la base canónica de P2 , B={1, x, x2}.
Reflexione sobre el ejercicio.
¿Podríamos "ver" cada polinomio en P2 como si fuera vector en Â3? ¿Qué puede concluir?
Visualizar el cambio de base en Â2
(Para visualizar las coordenadas en las diferentes bases oprima el botón Av.Pag. de su teclado)
En la vida real ya hemos usado el concepto de coordenadas, por ejemplo al situar un punto de la tierra, por medio de su longitud y latitud (2 coordenadas) aunque es un punto en el espacio (tres coordenadas)
-¿Podría explicar esto en lenguaje de álgebra lineal?
Ahora estudiaremos cómo cambiar de una base B a otra C y encontraremos la matriz asociada a ese cambio de base.
Consideremos S, la base canónica en Â2 y B={u,v}={(1,1),(1,2)} otra base.
Sea w=(x,y) un vector en Â2 eso significa que w=x(1,0)+y(0,1). Como B es una base, queremos encontrar las coordenadas de w con respecto a esa base, es decir, encontrar a,b tales que w=au+bv=a(1,1)+b(1,2), lo que implicaría que [w]B=(a,b).
Además queremos explorar la relación entre (x,y) y (a,b).
Para encontrar (a,b), escribimos la base canónica como combinación lineal de la base B, es decir, (realice las cuentas)
(1,0) = 2(1,1)-1(1,2) y (0,1) = -1(1,1)+1(1,2),
sustituyendo en w = x(1,0)+y(0,1) Þ
w = x(1,0)+y(0,1) = x {2(1,1)-1(1,2)}+y{-1(1,1)+1(1,2)} Þ
w = (2x-y)(1,1)+ (-x+y)(1,2) = (2x-y)u + (-x+y)v Þ
a=2x-y y b=-x+y de dónde
, es decir
[w]B = [ [e1]B [e2]B ] * [w]S
La matriz es la matriz cambio de base de la base S a la base B porque esa es la acción que realiza.
En efecto [w]B=A[w]S
Definicion 2:
Sean B={u1, u2,...,un} y C={v1, v2,...,vn} bases de V. La matriz A cuyas columnas son [uj]C se llama matriz de transición o cambio de base de la base B a la base C y la denotaremos ABC=[(u1)C (u2)C ... (un)C]
Usando el mismo razonamiento que en el ejemplo anterior se puede probar
Teorema 2:
Sean B y C bases para el espacio vectorial V y sea A la matriz de transición de la base B a la base C, entonces para todo wÎV se satisface
(w)B=A(w)S
Ejercicio Nº2:
Sea S la base canónica en Â2 y B={(1,1),(-1,1)} otra base.
a) Encuentre A, la matriz de transición de la base S a la Base B
b) Encuentre P, la matriz de transición de la base B a la Base S
c) ¿Qué relación hay entre A y P?. Formule una conclusión y pruébela
d) Si [w]B=(3,-2), encuentre w
e) Si w=(3,-2), encuentre [w]B
Los resultados del ejercicio anterior, se satisfacen en general, es decir,
Teorema 3:
Sean B y C bases para el espacio vectorial V. Si A es la matriz de transición de la base B a la base C, entonces A-1 es la matriz de transición de la base C a la base B
Ejemplo 2:
Sea B={(1,0,-1),(-1,1,0),(1,1,1)} y
C ={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} bases de Â3.
Queremos hallar la matriz de transición de la base B a la Base C. Para ello expresamos los vectores de la base B como combinación lineal de los vectores de la base C, es decir
(1,0,-1) = a(1,1,0)+b(1,0,1)+g(0,1,1)
(-1,1,0) = a(1,1,0)+b(1,0,1)+g(0,1,1)
(1,1,1) = a(1,1,0)+b(1,0,1)+g(0,1,1), lo cual nos lleva a los 3 sistemas de ecuaciones que tienen la misma matriz,
1 = a+b
-1 = a+b
1 = a+b
0 = a+g
1 = a+g
1 = a+g
-1 = b+g
0 = b+g
1 = b+g
Û [(1,0,-1)]C = (1,0,-1) [(-1,1,0)]C = (0,-1,1) [(0,1,1)]C = (1/2,1/2,1/2)
por lo tanto la matriz de transición buscada es ,
en efecto, si w=(2,-3,4), en el ejemplo anterior comprobamos que
(2,-3,4)=-3(1,0,-1)-4(-1,1,0)+1(1,1,1) Þ
[(2,-3,4)]B=(-3,-4,1)
En efecto,
(-5/2)(1,1,0)+(9/2)(1,0,1)+(-1/2)(0,1,1)=(2,-3,4)
Ejercicio Nº3:
Sean B={4x-1,2x2-x,3x2+3}, C={1,1+x,1+x+x2)} bases de P2.
a) Encuentre A, la matriz de transición de la base B a la base C
b) Si [P(x)]B=(3,-2,1), encuentre [p(x)]C
c) Si [q(x)]C=(1,2,1),, encuentre [q(x)]B y q(x)
Solucion de los ejercicios
Solución1:
1+2x+3x2 = 1.1+2.x+3.x2 Þ [1+2x+3x2]B=(1,2,3)
Solución2:
a)
(1,0)=a(1,1)+b(-1,1) 1 , 0 =a-b
(0,1)=a(1,1)+b(-1,1) 0 , 1 =a+b
b)
(1,1) =a(1,0)+b(0,1) a= 1 b=1
(-1,1)=a(1,0)+b(0,1) a= -1 b=1
c)
Þ
A y P son matrices inversas
Conjetura: Si A es la matriz de transición de la base S a la base B, entonces A-1 es la matriz de transición de la base B a la base S,
En efecto, A[v]S = [v]B Þ [v]B = A-1[v]S
¿Porqué podemos asegurar que A es invertible?
d)
w=3(1,1)-2(-1,1) = (5,1)
e)
Solución3:
es la matriz de transición de la base B a la base canónica.
es la matriz de transición de la base C a la base canónica.
Por lo tanto Q-1 es la matriz de transición de la base canónica a la C.
Q-1P es la matriz de transición buscada; en efecto
Q-1*(P*[w]B)= Q-1*[w]S=[w]C
Muchas de las aplicaciones del álgebra lineal a la física, ingeniería, ciencias sociales, etc., pueden formularse de manera sencilla si se elige el sistema de coordenadas apropiado. También, los problemas de espacios vectoriales pueden simplificarse eligiendo una base adecuada. En la clase de hoy estudiaremos las coordenadas de un vector con respecto a una base fija, veremos que esas coordenadas cambian al cambiar la base del espacio y estudiaremos las relaciones que vinculan las coordenadas de un vector con respecto a diferentes bases.
Empezaremos con un ejemplo; tomemos B = { (1,0,-1), (-1,1,0), (1,1,1) } como base de Â3 y w = (2,-3,4) un vector en Â3. Expresaremos w como combinación lineal de B
-¿porqué esto es posible para cualquier w en Â3?.
Es decir, queremos encontrar escalares a, b, g tales que
(2,-3,4)=a(1,0,-1)+b(-1,1,0)+g(1,1,1)
lo cual nos lleva al sistema de ecuaciones,
a - b+g = 2
b+g =-3
-a +g = 4, cuya matriz aumentada es
-¿Son los escalares a, b, g únicos?
-¿Puede eliminar algún vector de B y todavía escribir w como combinación lineal de ese subconjunto?
En general tenemos el siguiente
Teorema 1:
Si (V,+,.) es un espacio vectorial de dimensión finita y B={v1, v2,...,vn} es una base de V, entonces para cada wÎV, existen escalares únicos a1, a2,...,an tales que w=a1v1+a2v2+...+anvn.
La existencia es debida a que una base es generadora del espacio y la unicidad es por el hecho de que la base es un conjunto linealmente independiente. En efecto, supongamos que w se puede escribir de dos maneras como una combinación lineal de v1, v2,...,vn; es decir,
w =a1v1+a2v2+...+anvn = b1v1+b2v2+...+bnvn, entonces,
(a1-b1)v1 + (a2-b2)v2 +...+ (an-bn)vn= 0 y como v1, v2,...,vn son l.i.
entonces a1 = b1, a2 = b2,..., an = bn.
Estos escalares únicos tienen un nombre propio: coordenadas de w con respecto a la base B. Precisando más, tenemos la siguiente
Definicion 1:
Sea como antes B={v1, v2,...,vn} una base de V y wÎV tal que w=a1v1+a2v2+...+anvn . Las coordenadas de w con respecto a la base B son a1, a2, ...,an y lo escribiremos así:
[w]B=( a1, a2,...,an).
Observaciones:
Ø si B={(1,2),(0,1)} entonces
[(2,7)]B= (2,3) porque (2,7)=2(1,2)+3(0,1)
Ø si C={(0,1),(1,2)} entonces
[(2,7)]C= (3,2) porque (2,7)=3(0,1)+ 2(1,2)
Es decir, [w]B no solo cambia cuando la base cambia, también depende del orden de los elementos en B. Por lo tanto, para definir con precisión las coordenadas de un vector w con respecto a una base B, pediremos que la base B sea una base ordenada.
Ejemplo 1:
Si S es la base canónica de Â3, como (2,-3,4) = 2(1,0,0)-3(0,1,0)+4(0,0,1) entonces [w]S=(2,-3,4) = w. Es decir, los vectores en Ân se denotan por sus coordenadas en la base canónica.
Los resultados obtenidos en el ejemplo anterior, nos permiten concluir que si w=(2,-3,4) y tomamos B={(1,0,-1),(-1,1,0),(1,1,1)} como base de Â3, entonces
Ejercicio Nº1:
Encuentre las coordenadas del polinomio
p(x)=1 +2x+3x2 con respecto a la base canónica de P2 , B={1, x, x2}.
Reflexione sobre el ejercicio.
¿Podríamos "ver" cada polinomio en P2 como si fuera vector en Â3? ¿Qué puede concluir?
Visualizar el cambio de base en Â2
(Para visualizar las coordenadas en las diferentes bases oprima el botón Av.Pag. de su teclado)
En la vida real ya hemos usado el concepto de coordenadas, por ejemplo al situar un punto de la tierra, por medio de su longitud y latitud (2 coordenadas) aunque es un punto en el espacio (tres coordenadas)
-¿Podría explicar esto en lenguaje de álgebra lineal?
Ahora estudiaremos cómo cambiar de una base B a otra C y encontraremos la matriz asociada a ese cambio de base.
Consideremos S, la base canónica en Â2 y B={u,v}={(1,1),(1,2)} otra base.
Sea w=(x,y) un vector en Â2 eso significa que w=x(1,0)+y(0,1). Como B es una base, queremos encontrar las coordenadas de w con respecto a esa base, es decir, encontrar a,b tales que w=au+bv=a(1,1)+b(1,2), lo que implicaría que [w]B=(a,b).
Además queremos explorar la relación entre (x,y) y (a,b).
Para encontrar (a,b), escribimos la base canónica como combinación lineal de la base B, es decir, (realice las cuentas)
(1,0) = 2(1,1)-1(1,2) y (0,1) = -1(1,1)+1(1,2),
sustituyendo en w = x(1,0)+y(0,1) Þ
w = x(1,0)+y(0,1) = x {2(1,1)-1(1,2)}+y{-1(1,1)+1(1,2)} Þ
w = (2x-y)(1,1)+ (-x+y)(1,2) = (2x-y)u + (-x+y)v Þ
a=2x-y y b=-x+y de dónde
, es decir
[w]B = [ [e1]B [e2]B ] * [w]S
La matriz es la matriz cambio de base de la base S a la base B porque esa es la acción que realiza.
En efecto [w]B=A[w]S
Definicion 2:
Sean B={u1, u2,...,un} y C={v1, v2,...,vn} bases de V. La matriz A cuyas columnas son [uj]C se llama matriz de transición o cambio de base de la base B a la base C y la denotaremos ABC=[(u1)C (u2)C ... (un)C]
Usando el mismo razonamiento que en el ejemplo anterior se puede probar
Teorema 2:
Sean B y C bases para el espacio vectorial V y sea A la matriz de transición de la base B a la base C, entonces para todo wÎV se satisface
(w)B=A(w)S
Ejercicio Nº2:
Sea S la base canónica en Â2 y B={(1,1),(-1,1)} otra base.
a) Encuentre A, la matriz de transición de la base S a la Base B
b) Encuentre P, la matriz de transición de la base B a la Base S
c) ¿Qué relación hay entre A y P?. Formule una conclusión y pruébela
d) Si [w]B=(3,-2), encuentre w
e) Si w=(3,-2), encuentre [w]B
Los resultados del ejercicio anterior, se satisfacen en general, es decir,
Teorema 3:
Sean B y C bases para el espacio vectorial V. Si A es la matriz de transición de la base B a la base C, entonces A-1 es la matriz de transición de la base C a la base B
Ejemplo 2:
Sea B={(1,0,-1),(-1,1,0),(1,1,1)} y
C ={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} bases de Â3.
Queremos hallar la matriz de transición de la base B a la Base C. Para ello expresamos los vectores de la base B como combinación lineal de los vectores de la base C, es decir
(1,0,-1) = a(1,1,0)+b(1,0,1)+g(0,1,1)
(-1,1,0) = a(1,1,0)+b(1,0,1)+g(0,1,1)
(1,1,1) = a(1,1,0)+b(1,0,1)+g(0,1,1), lo cual nos lleva a los 3 sistemas de ecuaciones que tienen la misma matriz,
1 = a+b
-1 = a+b
1 = a+b
0 = a+g
1 = a+g
1 = a+g
-1 = b+g
0 = b+g
1 = b+g
Û [(1,0,-1)]C = (1,0,-1) [(-1,1,0)]C = (0,-1,1) [(0,1,1)]C = (1/2,1/2,1/2)
por lo tanto la matriz de transición buscada es ,
en efecto, si w=(2,-3,4), en el ejemplo anterior comprobamos que
(2,-3,4)=-3(1,0,-1)-4(-1,1,0)+1(1,1,1) Þ
[(2,-3,4)]B=(-3,-4,1)
En efecto,
(-5/2)(1,1,0)+(9/2)(1,0,1)+(-1/2)(0,1,1)=(2,-3,4)
Ejercicio Nº3:
Sean B={4x-1,2x2-x,3x2+3}, C={1,1+x,1+x+x2)} bases de P2.
a) Encuentre A, la matriz de transición de la base B a la base C
b) Si [P(x)]B=(3,-2,1), encuentre [p(x)]C
c) Si [q(x)]C=(1,2,1),, encuentre [q(x)]B y q(x)
Solucion de los ejercicios
Solución1:
1+2x+3x2 = 1.1+2.x+3.x2 Þ [1+2x+3x2]B=(1,2,3)
Solución2:
a)
(1,0)=a(1,1)+b(-1,1) 1 , 0 =a-b
(0,1)=a(1,1)+b(-1,1) 0 , 1 =a+b
b)
(1,1) =a(1,0)+b(0,1) a= 1 b=1
(-1,1)=a(1,0)+b(0,1) a= -1 b=1
c)
Þ
A y P son matrices inversas
Conjetura: Si A es la matriz de transición de la base S a la base B, entonces A-1 es la matriz de transición de la base B a la base S,
En efecto, A[v]S = [v]B Þ [v]B = A-1[v]S
¿Porqué podemos asegurar que A es invertible?
d)
w=3(1,1)-2(-1,1) = (5,1)
e)
Solución3:
es la matriz de transición de la base B a la base canónica.
es la matriz de transición de la base C a la base canónica.
Por lo tanto Q-1 es la matriz de transición de la base canónica a la C.
Q-1P es la matriz de transición buscada; en efecto
Q-1*(P*[w]B)= Q-1*[w]S=[w]C
